Studienkolleg入学考试数学：主题、例题与备考（2026）

Studienkolleg入学考试（Aufnahmeprüfung）考哪些数学内容？按课程类型（T/W/M）分类的考试主题、难度等级、练习题及4周学习计划。

Studienkolleg入学考试（Aufnahmeprüfung）的数学部分涵盖德国高中高年级（Oberstufe）阶段的中学数学——大致相当于德国教育体系中第11至13年级的内容。T课程（T-Kurs）申请者的考试重点为代数、函数与基础微积分；W课程（W-Kurs）申请者重点为代数、百分比与基础统计；M课程（M-Kurs）申请者的考试主题与T课程高度重叠，但难度略低。整场考试持续45至60分钟，不允许使用计算器，所有题目均以德语书写。

本指南详细分解每种课程类型在入学考试中的数学考点，提供三道附完整解答的练习题，整理德语数学词汇参考表，并制定一份专注高效的4周学习计划。

哪些课程类型在入学考试中包含数学？

并非每种Studienkolleg课程类型都需要参加数学考试。以下是详细说明：

课程类型	是否需要数学考试？	难度等级
T-Kurs（理工类）	是——必考	高
W-Kurs（经济类）	是——必考	中
M-Kurs（医学/生物类）	是——大多数院校要求	中高
G-Kurs（人文类）	罕见——部分测试基础数学	低
S-Kurs（语言类）	否——仅考德语	不适用

如果您申请T课程，数学部分要求最为严格。W课程数学较为简单，侧重与商业相关的计算。M课程数学类似于T课程的简化版。

G课程和S课程申请者可跳过本指南——您的入学考试仅考查德语语言能力。有关德语考试部分，请参见我们的完整入学考试备考指南。

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T课程数学考点：必备知识

T课程入学考试涵盖最广泛、要求最高的数学主题。每所Studienkolleg自行命题，但以下主题在各院校中普遍出现。

代数与方程（Algebra und Gleichungen）

这是基础。预计至少有2至3道关于代数运算和方程求解的题目。

核心主题：

• 线性方程与线性方程组（2个未知数，偶尔3个）
• 一元二次方程（Quadratische Gleichung）——因式分解、配方法与求根公式（Mitternachtsformel / p-q-Formel）
• 三次及更高次多项式方程（用多项式除法因式分解）
• 指数方程（Exponentialgleichung）（例如：2^x = 16，3^(2x-1) = 27）
• 对数方程（Logarithmische Gleichung）（对数的基本性质、换底公式）
• 不等式（线性、二次）
• 绝对值方程

小例子： 法兰克福某Studienkolleg的一次入学考试要求学生手算求解一个三元线性方程组——不使用计算器。即使最终答案错误，书写规范、解题过程有条理也能获得部分分数。

函数与分析（Funktionen und Analysis）

函数分析是T课程入学考试中最重要的单一主题。您必须熟练掌握：

• 一次函数（Lineare Funktionen）： 斜率（Steigung）、截距（Achsenabschnitt）、平行线与垂直线
• 二次函数（Quadratische Funktionen）： 顶点式（Scheitelpunktform）、标准式、对称轴、零点、抛物线图像
• 多项式函数（Polynomfunktionen）： 次数、无穷远处的行为、零点、图像
• 指数函数（Exponentialfunktionen）： f(x) = a · b^x，增长与衰减，图像
• 对数函数（Logarithmusfunktionen）： 作为指数函数的反函数，基本图像
• 三角函数（Trigonometrische Funktionen）： sin(x)、cos(x)、tan(x)——单位圆、基本恒等式、周期、振幅
• 函数图像讨论（Kurvendiskussion）： 求零点（Nullstellen）、极值点（Extrempunkte）、拐点（Wendepunkte）、单调性、对称性
• 导数（Ableitungen）： 幂函数法则、乘积法则、链式法则——应用于多项式函数和基础三角函数
• 基本积分（Grundintegrale）： 曲线下面积、多项式函数的不定积分

微积分的深度因院校而异。部分Studienkolleg只考导数，其他院校也包含基本积分。备考时优先攻克导数——几乎每所T课程院校的入学考试都有这一内容。

几何（Geometrie）

几何题目不如代数和函数题目常见，但仍会定期出现。

• 勾股定理（Pythagoreischer Lehrsatz）及其应用
• 三角形、矩形、圆、梯形的面积与周长
• 基本三维形状的体积与表面积（圆柱、圆锥、球体、棱柱）
• 坐标几何：两点间距离、中点、直线与圆的方程
• 直角三角形中的基本三角学（正弦-余弦-正切，即SOH-CAH-TOA）
• 二维向量（Vektoren）（加减法、数量乘法、模）

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W课程数学考点：商业导向

W课程入学考试比T课程更简短、要求更低。重点从纯数学转向实用的商业计算。

W课程核心主题

主题	考试要求
线性方程与方程组	求解价格、数量、成本变量
二次方程	收入最优化、盈亏平衡分析
百分比与利息	单利、复利、价格加成/折扣、增值税计算
比例推理	正比与反比，三步法（Dreisatz）
基础统计	算术平均数（Mittelwert）、中位数、众数、加权平均
函数	一次与二次函数，在经济背景下解读图表
单位与换算	货币、计量单位、比率

小例子： 汉堡某W课程入学考试呈现了一道应用题：一家公司以生产成本25%的加价出售产品，要求学生计算含19%增值税（Mehrwertsteuer）的最终价格，再确定每单位利润。这需要清晰的百分比运算和仔细的题目阅读。

W课程不考的内容

W课程入学考试不涉及微积分、三角函数、向量或高级几何。数学内容严格限于代数和应用算术。

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M课程数学考点：介于T与W之间

M课程（医学、生物、药学）入学考试数学与T课程高度重叠，但通常省略最高难度的主题。

M课程主题覆盖范围

• 包含： 线性和二次方程、多项式函数、基础曲线讨论、导数（幂函数法则）、指数函数、基础几何、三角函数基础
• 通常不包含： 积分、高级三角恒等式、向量、复数、4次及以上多项式除法

可以将M课程数学理解为T课程去掉最难20%的内容。如果您对上述T课程主题进行了充分备考，M课程绰绰有余。

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与您母国的难度比较

入学考试数学的难度完全取决于您的教育背景。以下是客观的比较：

国家/地区	典型情况
中国、越南、伊朗	大多数主题在高中已学过。挑战在于用德语作答，而非数学本身
印度	与CBSE/ISC 11-12年级数学高度吻合。导数和函数会感觉很熟悉
土耳其	与土耳其高中数学（Lise）重叠度高。微积分深度可能略超YKS备考范围
阿拉伯国家	代数和几何覆盖良好。微积分（导数）可能需要额外准备
拉丁美洲	代数较熟悉，但曲线讨论和导数可能较陌生。预计需要2至4周针对性学习
撒哈拉以南非洲	因国而异。来自数学课程强劲体系的学生（尼日利亚、肯尼亚、加纳）通常适应较快，其他学生可能需要6至8周
韩国	数学教育扎实。韩国修能考试（Suneung）涵盖所有入学考试主题。主要挑战是德语词汇

普遍性挑战不在于数学本身，而在于在时间压力下、不使用计算器的情况下用德语完成运算。

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德语数学词汇：必备术语

入学考试的每道数学题都用德语书写。如果看不懂题目，就无从解答。在考试前务必背熟以下词汇。

核心数学术语

德语	中文	例句语境
die Gleichung	方程	”Lösen Sie die Gleichung” = 求解方程
die Ungleichung	不等式	”Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung”
die Nullstelle	零点/根	”Berechnen Sie die Nullstellen” = 计算零点
die Ableitung	导数	”Bilden Sie die erste Ableitung” = 求一阶导数
das Integral	积分	”Berechnen Sie das Integral”
der Scheitelpunkt	顶点（抛物线）	“Bestimmen Sie den Scheitelpunkt”
der Wendepunkt	拐点	”Berechnen Sie die Wendepunkte”
das Extremum (Pl: Extrema)	极值	”Bestimmen Sie die lokalen Extrema”
die Steigung	斜率	”Die Steigung der Geraden beträgt 3”
der Achsenabschnitt	截距	”Bestimmen Sie den y-Achsenabschnitt”
die Gerade	直线	”Die Gerade g hat die Gleichung…“
die Parabel	抛物线	”Zeichnen Sie die Parabel”
der Flächeninhalt	面积	”Berechnen Sie den Flächeninhalt”
das Volumen	体积	”Berechnen Sie das Volumen des Zylinders”
der Umfang	周长/周径	”Bestimmen Sie den Umfang”
der Bruch	分数	”Kürzen Sie den Bruch” = 化简分数
der Nenner	分母	”Erweitern Sie auf den gleichen Nenner”
der Zähler	分子
die Potenz	幂	”Vereinfachen Sie die Potenz”
die Wurzel	根（平方根）	“Berechnen Sie die Quadratwurzel”

指令动词（操作词）

德语动词	含义
Berechnen Sie	计算
Bestimmen Sie	确定/求出
Lösen Sie	求解
Vereinfachen Sie	化简
Zeichnen Sie	画/描绘
Zeigen Sie	证明/说明
Geben Sie an	写出/给出
Untersuchen Sie	分析/研究
Beschreiben Sie	描述
Begründen Sie	说明理由/解释

提示： 考试中始终使用德语正式敬语”Sie”形式。“Berechnen Sie die Nullstellen”是每道数学题的标准开头。要习惯这种表达方式。

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3道练习题（含完整解答）

以下题目代表了实际入学考试的典型题型。先在纸上尝试每道题，再阅读解答。

练习题1：二次函数（T课程 / M课程难度）

Gegeben ist die Funktion f(x) = x² - 4x + 3.

a) Berechnen Sie die Nullstellen.（计算零点） b) Bestimmen Sie den Scheitelpunkt.（确定顶点） c) Skizzieren Sie den Graphen.（画出函数图像）

解答：

a) 求零点——令 f(x) = 0：

x² - 4x + 3 = 0

用p-q公式或因式分解：(x - 1)(x - 3) = 0

Nullstellen: x₁ = 1, x₂ = 3

b) 顶点——用配方法或公式 x_s = -b/(2a)：

x_s = 4/(2·1) = 2

y_s = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1

Scheitelpunkt: S(2 | -1)

c) 抛物线开口向上（a = 1 > 0），过点(1, 0)和(3, 0)，最低点在(2, -1)。y轴截距为 f(0) = 3。

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练习题2：导数与函数分析（T课程难度）

Gegeben ist die Funktion f(x) = x³ - 3x.

a) Berechnen Sie die erste Ableitung f’(x).（求一阶导数） b) Bestimmen Sie die Extrempunkte.（确定极值点） c) Bestimmen Sie den Wendepunkt.（确定拐点）

解答：

a) 一阶导数：

f’(x) = 3x² - 3

b) 令 f’(x) = 0 求极值：

3x² - 3 = 0 → x² = 1 → x₁ = -1, x₂ = 1

二阶导数检验：f”(x) = 6x

f”(-1) = -6 < 0 → x = -1处为最大值：f(-1) = -1 + 3 = 2 → Hochpunkt (-1 | 2)

f”(1) = 6 > 0 → x = 1处为最小值：f(1) = 1 - 3 = -2 → Tiefpunkt (1 | -2)

c) 令 f”(x) = 0 求拐点：

6x = 0 → x = 0, f(0) = 0

Wendepunkt: W(0 | 0)

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练习题3：百分比与利息计算（W课程难度）

Ein Produkt kostet 240 EUR netto. Der Händler gibt 15% Rabatt. Auf den reduzierten Preis wird 19% Mehrwertsteuer aufgeschlagen. Wie hoch ist der Endpreis?

（一件商品净价240欧元。商家给予15%折扣。在折后价格上加收19%增值税。最终价格是多少？）

解答：

第1步——折扣：240 × 0,85 = 204 EUR

第2步——加增值税：204 × 1,19 = 242,76 EUR

Endpreis: 242,76 EUR

注意：德语数学中小数点用逗号（242,76），千位用句点或空格分隔。考试时请按德语书写规范作答。

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必记公式

考试不提供公式表。务必背熟以下公式：

代数

• 二次方程求根公式（p-q-Formel）： x = -p/2 ± √((p/2)² - q)，适用于 x² + px + q = 0
• 二次方程求根公式（Mitternachtsformel）： x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)，适用于 ax² + bx + c = 0
• 二项式公式（Binomische Formeln）： (a+b)² = a² + 2ab + b²，(a-b)² = a² - 2ab + b²，(a+b)(a-b) = a² - b²

微积分

• 幂函数求导法则： d/dx [xⁿ] = n · xⁿ⁻¹
• 乘积法则（Produktregel）： (f·g)’ = f’·g + f·g’
• 链式法则（Kettenregel）： (f(g(x)))’ = f’(g(x)) · g’(x)
• xⁿ的不定积分： ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C（n ≠ -1时）

几何

• 圆： A = πr²，U = 2πr
• 圆柱（Zylinder）： V = πr²h，表面积 = 2πr² + 2πrh
• 勾股定理： a² + b² = c²
• 三角函数： sin(α) = 对边/斜边，cos(α) = 邻边/斜边，tan(α) = sin(α)/cos(α)

统计（W课程）

• 算术平均数（Arithmetisches Mittel）： x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n
• 复利公式（Zinseszins）： K_n = K₀ · (1 + p/100)ⁿ
• 百分比： Prozentwert = Grundwert × Prozentsatz / 100

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4周学习计划

本计划假设您在母国已具备数学基础，需要复习、填补知识漏洞并在考试条件下练习。如果数学基础薄弱，请将计划延长至6至8周。

第1周：代数基础（每天2至3小时）

日期	重点	任务
第1至2天	线性方程、方程组	求解20组二元方程组；5组三元方程组
第3至4天	二次方程	练习全部三种求解方法（因式分解、配方、公式）；25道题
第5至6天	幂、根、对数	化简表达式，求解指数方程；20道题
第7天	复习+词汇	重做错题；学习德语数学术语（30分钟）

第2周：函数与微积分（每天2至3小时）

日期	重点	任务
第1至2天	一次与二次函数	画图像，求顶点，形式转换；15道题
第3至4天	导数	幂函数法则、乘积法则、链式法则；求导30个函数
第5至6天	函数图像讨论（Kurvendiskussion）	完整分析5个多项式函数（零点、极值、拐点、图像）
第7天	复习+词汇	重做薄弱部分；再补充20个德语数学术语

第3周：几何+薄弱环节（每天2至3小时）

日期	重点	任务
第1至2天	几何：面积、体积	计算15个图形的面积和体积
第3天	坐标几何	距离、中点、直线方程；10道题
第4天	三角函数基础	SOH-CAH-TOA，单位圆；15道题
第5至6天	补充个人薄弱点	专注于第1至2周中最薄弱的主题
第7天	复习+完整词汇表	全部德语数学术语；练习用德语阅读题目

第4周：考试模拟（每天3小时）

日期	重点	任务
第1天	模拟考试1	在限时条件下完成样卷（60分钟，不使用计算器）
第2天	复盘考试1	分析每道错题；重做错误题目
第3天	模拟考试2	不同样卷，相同条件
第4天	复盘考试2	专注于反复出现的错误类型
第5天	模拟考试3	最终限时模拟
第6天	轻度复习	只看公式和词汇——不做大量习题
第7天	休息	以最佳状态迎接考试

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数学备考最佳资源

免费练习材料

• 样卷合集 ——下载20余所Studienkolleg的真实入学考试卷
• 数学样卷 ——按院校和主题分类整理
• GeoGebra（geogebra.org） ——免费绘图工具，用于函数可视化和检验曲线图
• Khan Academy（德语版） ——涵盖从代数到基础微积分的视频教程

教材

• 《Lambacher Schweizer Mathematik》（Klett出版）——德国高中标准数学教材。如果您的目标Studienkolleg没有特别推荐，这是最好的参考书
• 《Mathematik für Studienkollegs》 ——部分院校出版自编备考手册。直接咨询您的目标院校
• 《Formelsammlung Mathematik》（任意出版社）——简明公式参考书，适合复习时查阅。学习期间不要依赖它——要背熟公式

备考策略

1. 从第一天起使用德语题目练习。 不要先用中文练习再期待临考翻译。考试用德语，练习就必须用德语
2. 从第一天起不使用计算器。 所有计算手动完成。重建心算能力
3. 书写规范整洁。 德国考试对书写清晰、结构化的解题过程给予部分分数（Teilpunkte）。每一步都要写出来
4. 从第3周起计时练习。 您需要大约每5至7分钟解一道题。速度很重要

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数学考试常见错误

压力下的算术失误

没有计算器，简单的乘法和符号错误是失分最常见的原因。仔细检查每次计算，尤其是涉及负数和分数的运算。

没有仔细阅读德语题目

“Bestimmen Sie die Nullstellen”和”Bestimmen Sie die Extrema”需要完全不同的计算。误读一个德语单词可能使您走上错误方向，浪费10分钟。

书面解答跳过步骤

德语数学考试要求从已知条件到答案有清晰的逻辑推进过程。即使答案正确，只写最终结果而不展示解题过程，在大多数院校也会得零分。

错误的书写规范

使用德语数学书写规范：小数点用逗号（3,14而非3.14），解集用正确的集合符号（L = {1; 3}而非x = 1 or 3），点的标记用德语标准形式（S(2 | -1)而非S(2, -1)——竖线是德语数学的标准）。

最后一题时间不足

许多学生在困难的前面题目上花费过多时间，然后匆忙完成或跳过最后的问题。如果某题卡住超过3分钟，标记并继续做下一题。完成其余题目后再回头作答。

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常见问题解答

入学考试数学部分持续多长时间？

大多数Studienkolleg的数学部分持续45至60分钟。部分院校提供90分钟的德语+数学综合测试。在这段时间内需解答4至8道题。请向您的目标院校确认确切时长。

可以使用计算器吗？

不可以。 绝大多数Studienkolleg禁止使用所有计算器，包括基础科学计算器。某些联邦州的部分院校允许使用简易科学计算器（wissenschaftlicher Taschenrechner / WTR），但这属于例外情况。备考时请按不允许使用计算器来准备。

可以携带哪些工具？

通常允许：钢笔、铅笔、直尺和橡皮擦。部分Studienkolleg提供空白纸张，其他院校要求直接在考试本上作答。量角器和圆规可能被允许，但很少需要。不得携带公式表、手机或智能手表。

数学部分比德语部分难吗？

对于大多数国际学生来说，德语考试更难备考，因为语言习得需要数月时间。数学部分奖励集中的短期备考——如果掌握了考试主题，4周内即可达到备考水平。来自数学教育强劲国家（中国、印度、伊朗、韩国）的许多学生认为数学可以应对，但在德语C-Test上挣扎。请合理分配备考时间。

W课程入学考试需要掌握微积分吗？

不需要。 W课程数学部分不包含导数、积分或函数图像讨论。重点放在代数、百分比、利息计算和基础统计。如果能求解线性和二次方程、计算复利并解读简单图表，您就已经做好准备了。

如果数学部分不及格但德语部分通过了怎么办？

大多数Studienkolleg将入学考试作为综合结果处理。某一部分不及格通常意味着整场考试不及格。在大多数院校，极高的德语分数无法弥补数学部分的不及格。部分Studienkolleg提供条件录取，要求在特定方面取得进步，但这种情况较为罕见。

每所Studienkolleg的数学考试主题相同吗？

总体主题领域一致（代数、函数、几何），但具体难度和重点各有不同。巴伐利亚州的Studienkolleg采用在慕尼黑统一管理的中央考试。黑森州的Studienkolleg也协调统一考试。其他联邦州，各院校自行命题。请从您具体目标院校下载样卷，了解确切考试内容。

数学成绩在入学考试总成绩中如何加权？

加权方式因院校和课程类型而异。在许多Studienkolleg，德语和数学部分权重相同（各50%）。在其他院校，德语占60%，数学占40%。对于T课程申请者，部分院校对数学权重更高。确切加权方式通常发布在Studienkolleg官网或考试说明文件中。

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下一步行动

1. 确定您的课程类型（T、W、M、G或S），仅复习本指南中相关的数学主题
2. 下载您目标Studienkolleg的样卷，来自样卷合集
3. 打印上方词汇表，每天学习5至10个术语，直到全部掌握
4. 开始4周学习计划——或者如果还需要备考德语测试，从完整入学考试备考指南开始
5. 所有练习在纸上、用德语、不使用计算器完成——这是不可妥协的要求
6. 第4周至少完成2次完整限时模拟考试，培养考试耐力

数学部分是可预测的。相同的主题领域每学期都会出现，难度保持在已知范围内，题型也会重复。系统备考4周的学生能够通过考试。今天就开始吧。